Glidande medelvärde spektral uppskattnings

Power Spectrum Estimation Methods Advanced Signal Processing Toolkit. Ett effektspektrum beskriver energifördelningen av en tidsserie i frekvensdomänen. Energi är en reell värderad kvantitet, så effektspektrumet innehåller inte fasinformation eftersom en tidsserie kan innehålla icke-periodiska Eller asynkront samplade periodiska signalkomponenter, anses frekvensspektrumet för en tidsserie typiskt vara en kontinuerlig frekvensfunktion. När du använder en serie diskreta frekvensfack för att representera kontinuerlig frekvens är värdet vid en specifik frekvensfack proportionell mot Frekvensintervallet För att avlägsna beroendet av frekvensintervallets storlek kan du normalisera effektspektrumet för att producera PSD-spektraldensiteten, vilket är effektspektrum dividerat med frekvensintervallets storlek. PSD mäter signalkraften per Enhetens bandbredd för en tidsserie i V 2 Hz, vilket implicit förutsätter att PSD representerar en signal i volt som driver en 1 ohm belastning Om PSD representeras i en decibel dB är motsvarande enhet för PSD dB ref V sqrt Hz Om du vill använda andra enheter för den uppskattade PSD för en tidsserie måste du skala tidsenheten Serien i lämpliga tekniska enheter EU Efter att du har skala en tidsserie enhet kan du få motsvarande enhet för det linjära PSD-värdet och dB PSD-värdet som EU 2 Hz och dB ref EU kvadrat Hz Använd TSA-skalaen till EU VI Att skala enheten för en tidsserie till lämpliga EU. PSD uppskattningsmetoder klassificeras enligt följande. Parametriska metoder Dessa metoder är baserade på parametriska modeller av en tidsserie, såsom AR-modeller, glidande genomsnittliga MA-modeller och medelstarka ARMA-medel Modeller Därför är parametriska metoder också kända som modellbaserade metoder. För att uppskatta PSD för en tidsserie med parametriska metoder behöver du först få modellparametrarna i tidsserierna först. Du måste bygga en lämplig modell som korrekt återspeglar E-beteendet hos systemet som genererar tidsserierna annars, kan den uppskattade PSD kanske inte vara pålitlig. MUSIC-metoden för multipel signalklassificering är också en modellbaserad spektralestimeringsmetod. Parametriska metoder Dessa metoder, som inkluderar periodogrammetoden Welch-metoden och Capon Metoden är baserad på den diskreta Fourier-transformen. Du behöver inte få parametrarna i tidsserierna innan du använder dessa metoder. Den primära begränsningen av icke-parametriska metoder är att beräkningen använder datafönstret vilket resulterar i förvrängning av de resulterande PSD-erna på grund av fönstereffekter. Viktiga fördelar med icke-parametriska metoder är robustheten, de uppskattade PSD-erna innehåller inte falska frekvenstoppar. Parametriska metoder använder däremot inte datafönster Parametriska metoder antar en signal som passar en viss modell De uppskattade PSD-erna kan innehålla falska frekvenstoppar om den antagna modellen är fel PSDs uppskattade med parametriska metoder är mindre förspända och har en lägre varians NCE än PSD beräknas med icke-parametriska metoder om den antagna modellen är korrekt. Storleken på PSD-värden som beräknas med parametriska metoder är vanligtvis felaktiga. Notera Vid spektralanalys kan du genomföra genomsnittliga successiva spektrummätningar för att minska estimeringsavvikelsen och förbättra mätnoggrannheten. Använd TSA-genomsnittet PSD VI att genomföra det uppskattade spektrumet kontinuerligt.12 1 Beräkning av spektraldensiteten. Vi diskuterade tidigare periodogrammet, ett funktionsdiagram som visar information om de periodiska komponenterna i en tidsserie. Varje tidsserie kan uttryckas som summa av cosinus och sinusvågor Oscillerande vid de grundläggande harmoniska frekvenserna jn med j 1, 2, n 2 Periodogrammet ger information om de olika frekvensernas relativa styrkor för att förklara variationen i tidsserierna. Periodogrammet är en provuppskattning av en populationsfunktion som kallas spektral Densitet, vilken är en frekvensdomänkarakterisering av en befolknings stationär t Ime series Den spektrala densiteten är en frekvensdomänrepresentation av en tidsserie som är direkt relaterad till autokovarians-tidsdomänrepresentationen. I huvudsak innehåller spektraldensiteten och autokovariansfunktionen samma information, men uttrycker den på olika sätt. Recension Obs! Autokovariansen är autokorrelationsens täljare Autokorrelationen är autokovariansen dividerad med variansen. Antag att h är autokovariansfunktionen för en stationär process och att f är spektraldensiteten för samma process. I notationen av föregående mening, H tidsfördröjning och frekvens. Autokovariansen och spektral densiteten har följande förhållanden. På språket för avancerad kalkyl är autokovarians - och spektraldensiteten Fourier-transformationspar. Vi vann inte oroa sig för beräkningen av situationen. Vi kommer att fokusera på uppskattningen av Spektral densitet frekvensdomänkarakterisering av en serie Fouriertransformationsekvationerna ges endast här för att fastställa att det finns en direkt länk mellan tidsdomänrepresentationen och frekvensdomänrepresentationen av en serie. Matematiskt definieras spektraldensiteten för både negativ Och positiva frekvenser Men på grund av symmetri av funktionen och dess repea Tingmönster för frekvenser utanför intervallet -1 2 till 1 2 behöver vi bara vara oroade med frekvenser mellan 0 och 1 2. Den totala integrerade spektraldensiteten är lika med seriens varians Således kan spektraldensiteten inom ett visst intervall av frekvenser Betraktas som mängden av variansen förklarad av dessa frekvenser. Metoder för att beräkna spektral densitet. Råperiodogrammet är en grov provuppskattning av populationens spektraldensitet. Uppskattningen är grov, delvis, för att vi endast använder de diskreta grundläggande harmoniska frekvenserna För periodogrammet medan spektraldensiteten definieras över en kontinuitet av frekvenserna. En möjlig förbättring av periodogrammet är uppskattningen av spektraldensiteten att jämna den med hjälp av centrerade glidmedel. En ytterligare utjämning kan skapas med hjälp av avsmalnande metoder som viktar ändarna i tid av Serien mindre än mitten av data Vi kommer inte att täcka avsmalnande i den här lektionen Interesserade parter kan se avsnitt 4 5 I boken och olika internetkällor. Ett alternativt tillvägagångssätt för utjämning av periodogrammet är ett parametrisk uppskattningsförfarande baserat på det faktum att en stationär tidsserie kan approximeras med en AR-modell av viss ordning, även om det kan vara en hög order. Lämplig AR-modell hittas och spektraldensiteten uppskattas sålunda som spektraldensiteten för den uppskattade AR-modellen. Utmatning av icke-parametrisk beräkning av spektral densitet. Den vanliga metoden för utjämning av ett periodogram har ett så fint namn som det låter svårt , Det är bara ett centrerat glidande medelprocedur med några möjliga modifieringar. För en tidsserie är Daniell-kärnan med parameter m ett centrerat glidande medelvärde som skapar ett jämnt värde vid tiden t genom att medeltalgöra alla värden mellan tiderna tm och tm inklusive , Utjämningsformeln för en Daniell-kärna med m 2 är. I R kan viktningskoefficienterna för en Daniell-kärna med m 2 genereras med kommandot Och kärnan daniell, 2 Resultatet är. coef -2 0 2 coef -1 0 2 coef 0 0 2 coef 1 0 2 coef 2 0 2.The subscripts for coef hänvisar till tidsskillnaden från mitten av medelvärdet vid tid t Således är utjämningsformeln i det här fallet vilket är samma som ovan angivna formel. Den modifierade Daniell-kärnan är sådan att de två ändpunkterna i medelvärdet får halva den vikt som inre punkter gör. För en modifierad Daniell-kärna med m 2, Utjämningen är. I R kommer kommandot 2 att lista de viktningskoefficienter som just använts. Endera Daniell-kärnan eller den modifierade Daniell-kärnan kan omvandlas så att utjämningen appliceras igen till de jämnda värdena. Detta ger en mer omfattande utjämning genom medelvärde Över ett större tidsintervall Exempelvis kan du upprepa en Daniell-kärna med m 2 på de jämnde värdena som resulterade från en Daniell-kärna med m 2. Formeln skulle vara det genomsnittliga av de jämnda värdena inom två tidsperioder t I båda riktningarna. I R , Kommer kommandokärnan daniell, c 2,2, att tillhandahålla de koefficienter som skulle appliceras på som vikter i medelvärdet av de ursprungliga datavärdena för en konvoluterad Daniell-kärna med m 2 i båda smoothingsen Resultatet är. kernel daniell, c 2,2 coef -4 0 04 coef -3 0 08 coef -2 0 12 coef -1 0 16 coef 0 0 20 coef 1 0 16 coef 2 0 12 coef 3 0 08 coef 4 0 04. Detta genererar utjämningsformeln. En konvolvering av Modifierad metod där slutpunkterna har mindre vikt är också möjligt. Kommandot ger dessa koefficienter. Co--3 0 06250 coef -2 0 12500 coef -1 0 18750 coef 0 0 21875 coef 1 0 18750 coef 2 0 12500 coef 3 0 06250 coef 4 0 01563.Ved centrumvärdena viktas något kraftigare än i omodifierad Daniell-kärna. När vi släpper ett periodogram utjämnar vi över ett frekvensintervall snarare än ett tidsintervall. Kom ihåg att periodogrammet är bestämt Vid de grundläggande frekvenserna jjn för j 1, 2, n 2 Låt jag j ange periodogramvärdet vid frekvens Ency jjn När vi använder en Daniell-kärna med parameter m för att släta ett periodogram är det jämnade värdet hatomegaj ett vägt genomsnitt av periodogramvärden för frekvenser i intervallet jm n till jm n. Det finns L 2 m 1 grundläggande frekvensvärden i Intervall jm n till jmn det värdeområde som används för utjämning Bandbredden för det jämnde periodogrammet definieras som. Bandbredden är ett mått på bredden på frekvensintervallet s som används för att utjämna periodogrammet. När ojämna vikter används vid utjämningen, Definitionen av bandbredd är modifierad. Angiv det jämnaste periodogramvärdet vid jjn som. Hat omegaj summa hk Jag lämnade omegaj frac right. The hk är de möjligen ojämna vikterna som används vid utjämningen. Bandbreddsformeln ändras sedan till. Actually fungerar denna formel även för lika vikt. Bandbredden ska vara tillräcklig för att släta upp vår uppskattning, men Om vi ​​använder en bandbredd som är för stor, kommer vi att glatt ut periodogrammet för mycket och saknar att se viktiga toppar. I praktiken tar det vanligtvis lite experiment att hitta bandbredd som ger en lämplig utjämning. Bandbredden styrs övervägande av antalet Värden som är genomsnittliga i utjämningen Med andra ord påverkar m-parametern för Daniell-kärnan och huruvida kärnan är omvandlad, påverka bandbredden. Notera Bandenbredderna R rapporterar med sina diagram, inte matcha de värden som skulle beräknas med formlerna ovan Vänligen se fotnoten på sidan 197 i din text för en förklaring. Genomförande utjämning kan periodogrammet med en Daniell-kärna uppnås i R med en sekvens av två komm Ands Den första definierar en Daniell-kärna och den andra skapar det jämnaste periodogrammet. Tänk på att den observerade serien heter x och vi vill glatta periodogrammet med en Daniell-kärna med m 4 Kommandona är. k-kärnan daniell, 4 K, avsmalning 0, log nr. Det första kommandot skapar de viktningskoefficienter som behövs för utjämningen och lagrar dem i en vektor som heter k Det är godtyckligt att kalla det k Det kan kallas någonting Det andra kommandot ber om en spektraldensitetsberäkning baserat på Periodogrammet för serien x med användning av viktningskoefficienterna lagrade i k, utan avsmalning, och diagrammet kommer att vara i vanligt skala, inte en loggskala. Om en konvolvering önskas kan kärnkommandot modifieras till något som k-kärnan Daniell, c 4,4. Det finns två möjliga sätt att uppnå en modifierad Daniell-kärna. Du kan antingen ändra kernelkommandot för att referera till snarare än daniell eller du kan hoppa över kärnkommandot och använda en spänningsparameter i kommandot. s Pans-parametern ger längden 2 m 1 av den önskade modifierade Daniell-kärnan Till exempel har en modifierad Daniell-kärna med m 4 längd L 2 m 1 9 så att vi skulle kunna använda kommandot. Spänner 9, avsmalnar 0, log nr. Två pass av en modifierad Daniell kärna med m 4 på varje pass kan göras med. Spannar c 9,9, avsmalnar 0, logg nr. Exempel. Detta exempel kommer att använda de fiskrekryteringsserier som används flera ställen i texten, inklusive flera ställen i kapitel 4 Serien består av n 453 månadsvärden av ett mått på en Fiskpopulationen i en sydlig halvklot Plats Dataen finns i filen. Det råa periodogrammet kan skapas med kommandot eller det kan skapas med hjälp av metoden som ges i lektion 6. avsmalning 0, logg nr. Notera att i kommandot precis gav vi Har utelämnat parametern som ger vikter för utjämning. Råperiodogrammet följer. Nästa plot är ett jämnt periodogram med en Daniell-kärna med m 4 Observera att en effekt av utjämningen är att den dominerande toppen i den ojämna versionen nu är den näst högsta Topp Detta berodde på att toppen är så tydligt definierad i den ojämna versionen att när vi genomsnittsar det med några omgivande värden är höjden reducerad. Nästa plot är ett jämn periodogram med två pass av en Daniell-kärna med m 4 på ea Ch-pass Observera hur det är jämnare än tidigare. För att få veta var de två dominerande topparna finns, ange ett namn på utgången och sedan kan du lista det till exempel. Specifika k, avsmalna 0, logga inga specier. Du kan sikta Genom utgången för att hitta de frekvenser vid vilka topparna uppträder. Beräkningarna av frekvenser och spektraldensitet anges separat, men i samma ordning Identifiera de maximala spektraldensiteterna och hitta de motsvarande frekvenserna. Här är den första toppen vid en frekvens 0229 Perioden antal månader i samband med denna cykel 1 0229 43 7 månader eller cirka 44 månader Den andra toppen uppträder vid en frekvens 0 083333 Den associerade perioden 1 08333 12 månader Den första toppen är förknippad med en El Nino väder effekt Den andra är den vanliga 12 månaders säsongseffekt. Dessa två kommandon kommer att placera vertikala streckade linjer på den beräknade spektraldensitetsplotten vid ungefärliga lägen av toppdensiteterna. ablin v 1 44, litet prickat abline v 1 12, litet prickat. Här är den resulterande plot. Vi har mjukat tillräckligt, men för demonstrationen är nästa plot resultatet av. Spänner c 13,13, avsmalnar 0, log nr. Det använder två pass av en modifierad Daniell kärna med längd L 13 så m 6 varje gång. Plotten är lite jämnare men inte så mycket. Topparna är förresten i Exakt samma platser som i diagrammet omedelbart ovan. Det är definitivt möjligt att släta för mycket. Antag att vi skulle använda en modifierad Daniell-kärna med total längd 73 m 36 Kommandot är. Spänner 73, avsmalnar 0, log nr. Resultatet följer Topparna är borta. Parametrisk uppskattning av spektral densitet. Utjämningsmetoden för spektral densitet uppskattning kallas en icke parametrisk metod eftersom den inte använder någon parametrisk modell för den underliggande tidsserien processen En alternativ metod är en parametrisk metod som innebär att man finner den bästa passande AR-modellen för serien och sedan plottar spektraldensiteten hos modellen. Denna metod stöds av en stämning som säger att spektraldensiteten i vilken tidsserieprocess som helst kan approximeras av Spektral densitet av en AR-modell av någon ordning, eventuellt en hög en. I R är parametrisk uppskattning av spektral densitet lätt gjord med kommandofunktionen Ett kommando som logg nr kommer att orsaka R att göra allt arbete igen, för att identifiera toppar Vi kan tilldela resultatet ett resultat genom att göra något som logg nr. För exemplet fiskrekrytering är följande diagram resultatet. Observera att densiteten är plottad är den för en AR 13-modell Vi kan säkert hitta fler parsimoniska ARIMA-modeller för dessa data. Vi använder bara spektraldensiteten hos modellen för att approximera spektraldensiteten hos den observerade serien. Utseendet på den uppskattade spektraldensiteten är ungefär samma som tidigare. Den uppskattade El Nino-toppen är Belägen på en något annorlunda plats är frekvensen cirka 0 024 för en cykel av ca 1 024 ca 42 månader. En serie bör avlägsnas före en spektralanalys. En trend kommer att orsaka en sådan dominant spektraldensitet vid en låg frekvens som den andra Toppar vann inte ses Som standard utför R-kommandot en de-trending med en linjär trendmodell. Det vill säga spektraldensiteten beräknas med hjälp av rester från en regression gjord där den y-variabla observerade data och x-variabeln t If En annan typ av trend är närvarande, en kvadratisk till exempel då kan en polynom-regression användas för att avleda data innan den uppskattade spektraldensiteten utforskas. Notera dock att R-kommandot dock gör S inte utföra en de-trending som standard. Application of Smoothers till Raw Data. Note att smoothers beskrivna här kan också tillämpas på rå data Daniell kärnan och dess modifieringar är helt enkelt flytta genomsnittliga eller viktad glidande genomsnittliga smoothers. Power Spectrum Estimation Methods Advanced Signal Processing Toolkit. Ett effektspektrum beskriver energifördelningen av en tidsserie i frekvensdomänen. Energi är en reell värderad kvantitet, så att effektspektret inte innehåller fasinformation. Eftersom en tidsserie kan innehålla icke-periodisk eller asynkront samplet Periodiska signalkomponenter anses frekvensspektrumet för en tidsserie typiskt vara en kontinuerlig frekvensfunktion. När du använder en serie diskreta frekvensfack för att representera kontinuerlig frekvens är värdet vid en specifik frekvensfack proportionell mot frekvensintervallet till Ta bort beroendet av frekvensintervallets storlek, du kan normalisera strömspektrummet för att producera effektspaken Ctral densitet PSD, vilket är effektspektrum dividerat med frekvensintervallets storlek. PSD mäter signalkraften per bandbredd för en tidsserie i V 2 Hz, vilket implicit förutsätter att PSD representerar en signal i volt som driver en 1 Ohm belastning Om PSD representeras i en decibel dB är motsvarande enhet för PSD dB ref V sqrt Hz Om du vill använda andra enheter för den beräknade PSD för en tidsserie, måste du skala tidsenhetens enhet Till lämpliga tekniska enheter EU Efter att du har skala en tidsserie enhet kan du hämta motsvarande enhet för det linjära PSD-värdet och dB PSD-värdet som EU 2 Hz respektive dB ref EU kvadrat Hz Använd TSA-skalan till EU VI till Skala enheten för en tidsserie till lämpliga EU. PSD uppskattningsmetoder klassificeras enligt följande. Parametriska metoder Dessa metoder är baserade på parametriska modeller av en tidsserie, såsom AR-modeller, glidande genomsnittliga MA-modeller och autoregressiva rörliga genomsnittliga ARMA-modeller Ther Parametriska metoder är också kända som modellbaserade metoder. För att uppskatta PSD för en tidsserie med parametriska metoder måste du först få modellparametrarna i tidsserierna. Du måste bygga en lämplig modell som korrekt återspeglar beteendet hos System som genererar tidsserierna annars kan den uppskattade PSD kanske inte vara pålitlig. MUSIC-metoden för multipel signalklassificering är också en modellbaserad spektraluppskattningsmetod. Parametriska metoder Dessa metoder, som inkluderar metoden för metoden Welch Method och Capon med periodogrammet, baseras på Den diskreta Fourier-transformen Du behöver inte få parametrarna i tidsserierna innan du använder dessa metoder. Den primära begränsningen av icke-parametriska metoder är att beräkningen använder datafönstret vilket resulterar i förvrängning av de resulterande PSD-erna på grund av fönstereffekter. Viktiga fördelar med icke-parametriska Metoder är robustheten, de uppskattade PSD: erna innehåller inte falska frekvenstoppar. I kontrast parametrisk metod S använder inte datafönster Parametriska metoder antar en signal som passar en viss modell De uppskattade PSD-erna kan innehålla falska frekvenstoppar om den antagna modellen är fel PSD-värden som uppskattas med parametriska metoder är mindre förspända och har en lägre varians än PSD beräknade med icke parametriska metoder om Antagna modeller är korrekta. Storleken på PSD-värden som uppskattas med parametriska metoder är vanligtvis felaktiga. Notera Vid spektralanalys kan du genomföra genomsnittliga successiva spektrummätningar för att minska estimeringsavvikelsen och förbättra mätnoggrannheten. Använd TSA-genomsnittet PSD VI för att medeltala det uppskattade spektrumet kontinuerligt.